TC的編輯視角│空力套件帥就完事?關於下壓力的一些簡單、又輕鬆的數學小問題!

TC的編輯視角│空力套件帥就完事?關於下壓力的一些簡單、又輕鬆的數學小問題!
TC 2022/12/27

解釋火箭的工作原理並不難,但要解釋機翼的工作原理會需要火箭科學家。

所以,理論與實踐存在著絕對的差異,火箭背後的基本原理確實可能比機翼背後的原理要更加直觀。在火箭中,從火箭的加速透過牛頓第二與第三運動定律在相反方向產生推力等物理作用。讓我們將重點回到機翼上,通常在這種空力套件的討論上,在實際研發上需要相當大的測試數據量來支撐。


實際面臨的問題

根據DUCATI Panigale V4R以及近代MotoGP 空力套件相關新聞中,我們可以大致獲得關於一些提及下壓力的情報。在摩托車的空氣動力學中,可以產生的總量穩定下壓力在時速270公里的條件下約有30公斤,雖然這個數值是整個車輛(包含車身前半部)所產生的力,但如果單獨以「機翼套件」來進行拆分的話,也許來計算看看也是相當有趣的嘗試。

要解決這個問題,最好的方式就是把其他的計算先放在一邊,假設我們的車以大約時速200公里的速度行駛──當然,真實情況下請不要把你的手臂伸出車外 ──我們用我們的手臂來當作車身機翼空力套件,如此我們確實可以約略的估出下壓力的重量。我們可以在幾秒鐘內計算出預估值,並且領先任何業界學者,並且成為真正的工程師。

我們延續上述的假設,在第一次估算之後,我們需要對問題進行定量與技術性表述,以便後續可以寫下一些設計參數。我們來嘗試看看在沒有任何物理或工程學知識的條件下做到這一點,並且盡可能的透過直覺思維來接近我們想要的結果。

在進行更深入的探討之前,有一些注意事項:

1. 這會是一個簡化的二維(2D)討論,我們不會將機翼長度的重要3D動力學考慮進來,基本上我們會看到如下圖所示的機翼造型,具備分離流動物理特性的描述。此外,我們會把層流也考慮進因素內,所以在下圖中我們先忽略上方產生的渦流問題。

https://en.wikipedia.org/wiki/Flow_separation

2. 3D現象主要是機翼縱向的平面渦流。DUCATI Panigale V4R的機翼空力套件為例,DUCATI的機翼空力套件尾部翼尖有一個垂直向下的造型。這個翼尖小細節會允許機翼利用這組翼尖在尖端的渦流將空氣推送至底部(設計用於向下推動的力量),反例可以參考飛機的機翼翼尖是朝上折起,這主要是有利於飛機向上推動的力量。

https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%9C%BA%E7%BF%BC

3. 儘管我們現在在討論機翼的套件,但同樣的思維幾乎可以用在賽車的任何配件上,甚至可以將之應用於整體車輛的車身整流罩與車體造型設計,你可以發現MotoGP賽車或是任何要求下壓力的競賽車款通常都是將氣流引導向下而非如飛行載體的朝上設計。然而,在隔壁棚的F1賽車上,氣動力可以達到賽車重量的好幾倍有餘,其中接近50%的氣動力來自於賽車底盤與車體下方通過的空氣所產生,而非車上的各種空力套件。這當然也可以透過以下的討論來解決,但以白努力原理得知在氣動力所產生的壓力差異上,F1的車底應用會來的更有效率。


關於計算

我們的目的是要尋找一種力,在於機翼施加在摩托車上,並且將之向下推動的力。該力與空氣施加在機翼本體上的力量相等,並且基本上與機翼通過向上偏轉而施加在空氣上的力量相反。

圖例如下:


我曾經寫過另外一篇淺談MotoGP賽車上要面對的牛頓第二運動定律的專欄,有興趣的朋友可以參考下列連結做延伸閱讀:

延伸閱讀

TC的編輯視角│時速350公里下的牛頓第二運動定律!MotoGP車手要面對的狂野g力!


我們可以利用力等於質量乘以加速度的公式:

 F=ma

因此,我們透過將機翼偏轉的空氣質量乘上向上的加速度來得到垂直力。

基本上,我們假設在特定時點受機翼本體影響的的全部氣流都為向上,當然這不會是現實場合會發生的現象,隨著空氣在機翼周圍的流動,同時氣流也會發生變化,這並非短暫的現象,我們可以用開頭提到的火箭原理的直觀方式來看,當然你也可以把線性動量與循環一定的加進考慮之中,用這種方式來做思考應該也可以更直觀的了解空力套件所帶來實質力量上的影響。

繼續我們的計算,我們可以猜測空氣質量是一個與機翼本身大小類似的體積,就如同上文中提到的機翼截面那樣。另外,我們也可以將氣流的垂直加速度估算為空氣導出的垂直速度與導入垂直速度差,在除以氣流通過機翼總所需要的時間。

所以公式如下:

力=質量x加速度

=偏轉的空氣質量x偏轉的空氣質量加速度

=(密度x偏轉的空氣體積)x

= x[( 導出氣流向上速度 - 導入氣流向上速度) / 氣流通過機翼長度時間]

OK,上面這組就可以做為基礎的主要方程式。

我們需要的數據不多,首先,我們簡化一下我們問題的主要幾點假設:

1. 我們所需要的速度為270公里/小時,由於速度低於0.3 Ma(馬赫,速度單位),所以我們可以認為空氣處於恆定密度(不可壓縮)的狀態。

2. 不列入摩擦或耗能損失。

3. 氣流引導上我們假設在完美的狀態下,基本上我們的假設會建立在穩定且一致的氣流當中進行機翼的下壓力計算。


一些數據

1. 我們需要的空氣密度=1.225 kg/

2. 兩組空力套件的尺寸,我們假設以15cm * 10cm來計算,在偏轉空氣的體積上,高度假設為10cm(上側5cm,下側5cm)。每組機翼的總空氣體積為1,500 cm³ 或為 1,500 x 10^-6 m³ (不考慮車身周圍的氣流對空力套件造成的影響為前提)。

3. 我們需要計算的是垂直下壓力,所以假定機翼的後側氣流導出夾角為25度。

接著代入數值:

摩托車的行駛速度=270km/hr 或約等於75 m/s

同時我們用一些簡單的三角函數可以約略計算出氣流向上導出的速度

= 75 m/s * sin(25)= 75 * 0.42=31.5m/s

※此處以氣流進入的垂直速度=0 m/s ,意即25度出口速度=水平進入速度。

再來,我們要計算的是允許垂直線性動量發生變化所需要的時間,也就是垂直引導氣流的時間。

我們以覆蓋機翼本體15cm的長度為基礎,15cm=0.15m,並同時考慮水平投影:

15cm * cos(25) = 15cm * 0.9 = 13cm = 0.13m(考慮到整體近似值,給予10%誤差範圍。)

則得: 75m/s的速度通過0.13m的時間為0.0017sec

再將上述結果代入主要方程式= x[( 導出氣流向上速度 - 導入氣流向上速度) / 氣流通過機翼長度時間]

得:

F = (1.225 [kg/m³] * 1,500 * 10–6 [m³]) * [(31.5 [m/s] — 0 [m/s]) / 0.0017 [sec]

= 34 kgm/s²

= 34 N

從結果得知,我們會獲得34牛頓的力,我們再將34N除以10(基於9.8m/s²的重力加速度,四捨五入以10m/s²計之),可得:3  ½ kg的等效力。

因此,Panigale V4 R的兩片定風翼佔據整台車體所能夠產生的總空氣動力30公斤中的7公斤,約在20至25%的百分比。

如果我們對車體前半部重複上述的運算,車手可以將頭部藏於整流罩內,我們也許可以更接近總下壓力的正確解答。但,在這同時我們其實花了很多時間在過濾其他雜訊因素,因為現實狀況要考量到的介入因素實在太過複雜,根據開頭論述,F1的整個車身也具備重要的空氣動力學作用,當然,要針對賽車的整體空氣動力效果,其實不該只單純針對定風翼或特定位置的整流罩去進行運算,當然,如果用我們今天這種簡化到已經算是非實用面的方法時,做出來的東西有可能會是系統級的毀滅效果。


後記

你可能會有這樣的疑問:為什麼不是所有的定風翼都設計成向上或向下傾斜的板狀物,而是以各種造型且角度多樣化的方式打造而成呢?

大部分的答案與我們剛才在計算中的簡化假設有關。

現實環境中,我們卻是會發生摩擦力,摩擦力的產生就會直接影響阻力,導致我們沒有辦法得到完美的氣流引導路線,從而在機翼的後方會被這些額外的阻力產生而有分離的力量與速度。我們在本文中也沒有提到關於次音速與超音速的應用要求,在正確的空力套件中,其實應該要以沿著套件產生了壓力分佈來作為基礎,進而作為向上或向下的力量做應用。

如果你是數學、物理方面或是航太方面的專家,那麼你應該已經有更好的答案。

如果你只是希望了解該領域的範疇,你可以嘗試透過更嚴謹的線性動量守恆來進行運算,可以是理想條件,刪除時間分量並且將體積末端作為單一考量因素,或是你也可以嘗試使用循環積分,可以假設定風翼上下兩側都具備對稱的引導氣流,那你就會有兩條對稱的曲線在積分中相互抵銷,只會留下前後兩條直線。

或是你也可以從白努力定理作為基礎來思考這個問題。

更多空氣力學的相關知識可以參考以下連結:

Doug McLean | Common Misconceptions in Aerodynamics

 

TC 資深編輯
去賽道練車還會忘記帶車的辣個男人。